Basic Algebra/Solving Equations/Formulas

Basic Formulas

1. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
2. $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
5. $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
6. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
8. $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
9. $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

Derivation (1)

$(a+b{)}^2$
$=(a+b)(a+b)$
$=a(a+b)+b(a+b)$
$=a^2+ab+ab+b^2$
$=a^2+2ab+b^2$

Derivation (2)

$(a-b{)}^2$
$=(a-b)(a-b)$
$=a(a-b)-b(a-b)$
$=a^2-ab-ab+b^2$
$=a^2-2ab+b^2$

Derivation (3)

$a^2-b^2$
$=a^2+ab-ab-b^2$
$=a(a+b)-b(a+b)$
$=(a+b)(a-b)$

Derivation (4)

$(a+b{)}^3$
$=(a+b)\times (a+b{)}^2$
$=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$
$=a(a^2+2ab+b^2)+b(a^2+2ab+b^2)$
$=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3$
$=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Derivation (5)

$(a^3-b^3)$
$=(a-b)\times (a-b{)}^2$
$=(a-b)(a^2-2ab+b^2)$
$=a(a^2-2ab+b^2)-b(a^2-2ab+b^2)$
$=a^3-2a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b+2a{b}^2-b^3$
$=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$